図書館利用者登録をしていたTカードを他のお店で再発行しましたが、そのまま図書館を利用できますか？

できません。図書館利用登録をされていたTカードの番号が変更になった場合は改めて図書館の利用登録手続きが必要となります。
クレジットカード機能付きのTカードで券面が更新された場合等、Tカード番号に変更がないときはそのまま利用できます。